วิธีหาสมการเส้นตรง

สมการของเส้นตรง  (Equation of a Straight Line)

 

1.  สมการของเส้นตรงที่ขนานกับแกน   x   หรือ แกน   y

                ให้     L     เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน    x    จะเห็นได้ว่าจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนเส้นตรง    L   จะมีพิกัดที่   2     เท่ากันหมด   ถ้าพิกัดที่   2   เป็น   b     จะได้ว่า  “จุด    (x,y)    ที่เป็นจุดบนเส้นตรง   

L    ก็ต่อเมื่อ    y  =  b”

                เส้นตรง    L    จะเป็นกราฟของความสัมพันธ์    r    ที่นิยามว่า    r  =   {(x,y) | y  =  b}      หรือเส้นตรงที่มีสมการเป็น    y  =  b   

ในทำนองเดียวกัน   ถ้า    L    เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน   y    จะเห็นว่าจุดต่าง ๆ

 ที่อยู่บนเส้นตรง   L    จะมีพิกัดที่    1     เท่ากันหมด  ถ้าพิกัดที่   1    เป็น   a  จะได้ว่า  “จุด     (x,y)    ที่เป็นจุบนเส้นตรง     L    ก็ต่อเมื่อ    x  =  a ”

                เพราะฉะนั้นเส้นตรง    L    จะเป็นกราฟของความสัมพันธ์    r   ที่นิยามว่า   r   =   {(x,y) | x  =  a}   หรือเส้นตรงที่มีสมการเป็น    x  =  a

 

สมการของเส้นตรงแบบจุดและความชัน  (The Point-Slope Equation)

                ถ้าให้    L    เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด    (x₁,y₁)     และมีความชัน  =  m

ให้      (x,y)    เป็นจุดใด ๆ บนเส้นตรง    L      จากนิยามความชันได้ว่า 

ความชันของ   L  =          แต่กำหนดให้ความชันของ    L   เท่ากับ    m

  ดังนั้น                  m  =   

นั่นคือ      y – y₁  =  m(x – x₁)        เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด    (x₁,y₁)  

 และมีความชันเท่ากับ   m

 

ทฤษฎีบท  1.4    จะมีเพียงเส้นตรงเดียวเท่านั้นที่มีความชัน   m    และผ่านจุด   (x₁,y₁)

                และจะมีสมการเป็น    y – y₁  =  m(x – x₁)

 

ตัวอย่าง  1.10     จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด   (-2,3)    และมีความชันเท่ากับ   -4/5

วิธีทำ                      y – y₁  =  m(x – x₁)

                สมการเส้นตรงเส้นนี้ คือ

                                y – 3  =      (x + 2)

                                5y – 15  =  -4x – 8

                                4x + 5y – 7  =  0

 

สมการของเส้นตรงแบบจุดสองจุด  (The Two-Point Equation)

                ถ้าให้    L   เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด    P₁(x₁,y₁)   และ   P₂(x₂,y₂)     ถ้า     x₁  ¹  x₂      เพราะฉะนั้นความชันของ     P₁P₂    เท่ากับ        

ซึ่งจะเท่ากับความชันของเส้นตรง   L

แทนค่าในสมการเส้นตรงแบบจุดและความชัน  จะได้

                                y – y₁  =        (x – x₁)

                ถ้า     x₁  =  x₂    แล้ว   เส้นตรง     L   จะขนานกับแกน    y

เส้นตรง   L     จะมีสมการเป็น      x  =  x₁

 

ทฤษฎีบท  1.5    ถ้า    L   เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด    (x₁,y₁)    และ   (x₂,y₂)         

   ที่      x₁  ¹  x₂    แล้ว    L    จะมีสมการเป็น      y – y₁  =   (x – x₁)

 

ตัวอย่าง  1.11   จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด    (4,1)   และ   (-2,2)

วิธีทำ                      y – y₁  =     (x - x₁)

เพราะฉะนั้น สมการเส้นตรงที่ต้องการ  คือ

                y – 1  =  (x -4)    ,       x + 6y – 10  =  0

 

สมการของเส้นตรงแบบความชันและจุดตัดแกน (The Slope-Intercept Equation)

นิยาม  1.8     จุดตัดแกน   x  (x-intercept)  ของกราฟ  คือ พิกัดที่  1  ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน  x   

จุดตัดแกน  y  (y-intercept)  ของ กราฟ  คือ พิกัดที่  2 ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน   y

                วิธีการหาจุดตัดแกน     x    ทำได้โดยการให้     y  =  0   ในสมการแล้วแก้สมการหาค่า   x

              ทำนองเดียวกัน  การหาจุดตัดแกน     y     ทำได้โดยการให้     x  =  0    ในสมการแล้ว     แก้สมการหาค่า   y

                เช่น  สมการ     2x + 7y – 6  =  0    ให้    y  =  0     เพราะฉะนั้น     x  =  3 

นั่นคือ   จุดตัดแกน    x    ของกราฟ  คือ     3

 

สมมุติให้     L    เป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ    m    และมีจุดตัดแกน   y     เท่ากับ    b   

จากรูป  1.20    แสดงว่า   L    จะต้องผ่านจุด   (0,b)    แทนค่าความชันเท่ากับ  m    และ    (x₁,y₁)  =  (0,b)   ในสมการจะได้      y – b  =  m(x – 0)        นั่นคือ         y  =  mx + b

 

 

 

 

 

รูปที่   1.20

 

ทฤษฎีบท  1.6    สมการของเส้นตรงที่มีความชัน   m  และจุดตัดแกน  y  เป็น   b   คือ   y  =  mx + b

                

ถ้าเส้นตรง     L    ผ่านจุดกำเนิด     นั่นคือมีจุดตัดแกน   y   ที่       0   (เพราะว่า   b  =  0)   

เพราะฉะนั้นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดที่ไม่ใช่แกน    y    คือ     y  =  mx

 

ตัวอย่าง  1.12   จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ   -3/4    และมีจุดตัดแกน   y    เท่ากับ  2

วิธีทำ                        y  =  mx + b

                แทนค่า   ความชัน  และจุดตัดแกน    y    จะได้

                                                  y   =     -3/4 x + 2

                                                 4y  =  -3x + 8

                                                3x + 4y -8  =  0      จะเป็นสมการเส้นตรงที่ต้องการ

 

สมการของเส้นตรงแบบจุดตัดแกน  (The Intercept Equation)

ให้     L    เป็นเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน  x   เท่ากับ  a     และจุดตัดแกน     y     เท่ากับ   b    ;     a   ¹  0     และ    b  ¹  0      แสดงว่า    L   

เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด   (a,0)    และ    (0,b)

ความชันของเส้นตรง     L    คือ   m  =      =  -

สมการของเส้นตรง     L    คือ

                                y   =  -   x + b

                                ay   =   - bx +  ab

                                   =   1   

 

ทฤษฎีบท  1.7    สมการของเส้นตรงที่มี  จุดตัดแกน   x     และจุดตัดแกน   y   เท่ากับ     a    และ   b   

ตามลำดับ  คือ            =   1

                                                                               

ถ้า     a  ¹  0,    b  ¹   0

 

ตัวอย่าง  1.13   จงหาสมการเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน    x   เท่ากับ   2     และจุดตัดแกน   y    เท่ากับ   3

วิธีทำ

                                             =  1

                                              =  1

3x + 2y – 6  =  0                  เป็นสมการที่ต้องการ

 

นิยาม  1.9     สมการเชิงเส้น (Linear Equation)     คือสมการที่อยู่ในรูป

                                Ax + By + C  =  0

เมื่อ    A,   B   และ   C   เป็นจำนวนจริง ที่    A   และ   B   จะเท่ากับ   0   พร้อมกันทั้งสองตัวไม่ได้

 

ทฤษฎีบท  1.8    โลกัสของสมการเชิงเส้นคือเส้นตรง

พิสูจน์    จากสมการเชิงเส้น      Ax + By + C  =  0

ถ้า     B  =  0    แล้ว     A  ¹   0     หารทั้งสองข้างของสมการด้วย    A   สมการจะเป็น     x  =  -

ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน   y

ถ้า     B   ¹   0     แล้ว       หารทั้งสองข้างของสมการด้วย    B     สมการจะเป็น 

                                                y  =    - x  - 

ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงแบบความชันและจุดตัดแกน  เมื่อ

m  =  -        และ        b  =     -

ตัวอย่าง     จงหาความชัน   จุดตัดแกน    x    จุดตัดแกน    y     ของสมการเส้นตรง   x + 2y  =  1

วิธีทำ   จัดสมการเส้นตรงที่กำหนดให้   ให้อยู่ในรูปมาตรฐานของสมการเชิงเส้น  จะได้

                                                x + 2y – 1  =  0

                                A  =  1,     B  =  2     แ ละ     C  =   -1

นั่นคือ       m  =  -            และ       b  =     

หาจุดตัดแกน     x       โดยการแทนค่า      y  =   0      จะได้    x  =   1

เพราะฉะนั้น   ความชันเท่ากับ  -  ,    จุดตัดแกน   x     เท่ากับ   1,  จุดตัดแกน   y   เท่ากับ 

 

แบบฝึกหัด  1.5

                ข้อ   1.   ถึงข้อ    17.   จงเขียนสมการเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1.    ขนานกับแกน    x    และผ่านจุด   (2,-4)

2.    ขนานกับแกน    x    และผ่านจุด    (-1,-3)

3.    ขนานกับแกน    y    และผ่านจุด    (3,2)

4.    ขนานกับแกน    y    และผ่านจุด   (-2,3)

5.    ผ่านจุด     (2,-3)   และมีความชัน  -3/2

6.    ผ่านจุด     (4,2)     และมีความชัน   3

7.    ผ่านจุด     (4,-2)   และจุด  (2,3)

8.    ผ่านจุด     (-7,-2)  และจุด  (6,5)

9.   มีความชัน     -2/5    และมีจุดตัดแกน     y   เท่ากับ  -3

10.  มีความชัน     1/3   และมีจุดตัดแกน    y   เท่ากับ   2

11.  มีจุดตัดแกน    x    เท่ากับ    -3     และจุดตัดแกน     y    เท่ากับ   2

12.  มีจุดตัดแกน     x   เท่ากับ     4     และจุดตัดแกน     y   เท่ากับ  -1

13.  มีจุดตัดแกน    x    เท่ากับ     3    และผ่านจุด   (0,-5)

14.  มีจุดตัดแกน    y    เท่ากับ   -4   และผ่านจุด   (-1,1)

15.  ผ่านจุด    (2,1)     และขนานกับเส้นตรง   2x – 3y + 6  =  0

16.  ผ่านจุด    (1,-2)   และตั้งฉากกับเส้นตรง   y   =   2x  -  4

17.  ผ่านจุด    (2,3)    และตั้งฉากกับเส้นตรง    3x + 2y – 7  =  0

                ข้อ    18.   ถึงข้อ   27.  จงหาความชัน  จุดตัดแกน    x   จุดตัดแกน    y    ของสมการ

เส้นตรงต่อไปนี้

18.         3x + y – 1  =  0

19.        4x + 3y + 1  =  0

20.        x + y  =  5

21.        3x – 4y  =  10

22.        2x – y + 6  =  0

23.        x – 2y – 8  =  0

24.        2x + 3y – 11  =  0

25.        4x + 11y + 6  =  0

26.        y  =  -7

27.        x  =  2

28.  จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดกันของเส้นตรง     7x + 9y + 3  =  0   และ  2x – 5y + 16  =  0    

       และผ่านจุด   (7,-3)

29.  จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด    (7,0)    และตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด  (-5,3)   และ   (8,-1)

30.  จงหาค่า     k   ของสมการเส้นตรงต่อไปนี้  เมื่อสอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดให้

                30.1     3kx + 5y + k – 2  =  0            เมื่อผ่านจุด  (2,-3)

                30.2     4x – ky – 7  =  0                     เมื่อมีความชันเท่ากับ   2

                30.3     kx – y  =  3k - 6                      เมื่อมีจุดตัดแกน    x     เท่ากับ   5

31.   จงแสดงให้เห็นว่า   ถ้าเส้นตรง      Ax + By + C  =  0     และ    A’x + B’y + C’  =  0    

        ขนานกันจะได้ว่า       =      และ ถ้าตั้งฉากกันจะได้ว่า    AA’ + BB’  =  0