การแก้อสมการ

April 08, 2011

38390 views

จากที่เพื่อนๆเคยเรียนผ่านกันมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้

สำหรับหัวข้อนี้นั้น เราจะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่

1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน

2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน

3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก

4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ

การแก้อสมการกำลังหนึ่ง

อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ

$ax \le b$

$ax \ge b$

โดยที่เราจะกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b

เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น และพวกเราสามารถที่นำความรู้นี้มาใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์แบบฝึกหัดได้คะ

แบบฝึกหัด 6

1. $x - \le 5x-1$

2. $x-8 \le 7-3x$ และ 7-3x < 1

3. $3 \le 2x+4 < 7$

4. $3-x \le 2x+4 < 7$

5. $3x < 4x+2 \le x+11$

การแก้อสมการกำลังสอง

หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจ รับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณได้ดีมากขึ้น

สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์

การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน

หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ

$ax^2+bx+c\le0$

$ax^2+bx+c\ge0$

โดยกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b,c

เป็นค่าคงที่ ที่ a
eq 0

ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ

1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ

และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้

การแก้อสมการกำลัง 2

อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้

1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0

2. แยกตัวประกอบ

3. พิจารณาเครื่องหมาย +,-

4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของสมการ $3x^2+10x \ge 8$